Question

13．设椭圆$M：\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$，其中c＞0．
（1）若椭圆M的焦点为F₁、F₂，且$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{6}，P$为M上一点，求|PF₁|+|PF₂|的值；
（2）如图所示，A是椭圆上一点，且A在第二象限，A与B关于原点对称，C在x轴上，且AB与x轴垂直，若$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-4$，△ABC的面积为4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线l与椭圆M交于P、Q，且四边形APCQ为平行四边形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，再由椭圆的定义，即可得到所求值；
（2）①设A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），求得向量CA，CB的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解得y₁，再由三角形的面积公式，求得x₁，可得A的坐标，代入椭圆方程，进而得到椭圆M的方程；
②由AC的中点为（-2，1），由题可知PQ的中点为（-2，1），设P（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），代入椭圆方程，得到x₂+x₃=-4，y₂+y₃=2，进一步得到$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}=1$，则直线l的方程可求．

解答 解：（1）由|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{6}$，
可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，
由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=4$\sqrt{3}$；
（2）①设A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
∵$\overrightarrow{CA}$=（0，y₁），$\overrightarrow{CB}$=（-2x₁，-y₁），
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=-y₁²=-4，
∵y₁＞0，∴y₁=2．
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$|y₁|•|2x₁|=4，解得x₁=-2，即A（-2，2），
由点A在M上，即有$\frac{4}{2{c}^{2}}+\frac{4}{{c}^{2}}=1$，解得c=$\sqrt{6}$，
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$；
②∵AC的中点为（-2，1），
∴由题可知PQ的中点为（-2，1），
设P（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
则$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=12}\\{{{x}_{3}}^{2}+2{{y}_{3}}^{2}=12}\end{array}\right.$，即（x₂-x₃）（x₂+x₃）+2（y₂-y₃）（y₂+y₃）=0，
∵x₂+x₃=-4，y₂+y₃=2，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}=1$．
∴直线l的方程为：y-1=x+2即y=x+3．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．