Question

11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$=0，直线1与x，y轴分别交于点A，B，点P是曲线C上任意一点．
（1）求弦OP的中点M的轨迹的直角坐标方程．
（2）求点P到直线AB距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1化为（x-1）²+y²=1．设弦OP的中点M（x，y），则P（2x，2y），代入曲线C的方程j即可得出．
（2）直线1的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$=0，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$+$\sqrt{2}$=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化为直角坐标方程．圆心C（1，0）到直线l的距离d，则点P到直线AB距离的最小值为d-r．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为（x-1）²+y²=1．
设弦OP的中点M（x，y），则P（2x，2y），代入曲线C的方程可得：（2x-1）²+（2y）²=1．
（2）直线1的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$=0，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$+$\sqrt{2}$=0，化为：x+y+2=0．
圆心C（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|1+0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴点P到直线AB距离的最小值为d-r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．