Question

15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程并求出其离心率．
（1）焦点在x轴上，长轴长是10，短轴长8的椭圆方程；
（2）与椭圆$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{36}=1$有相同焦点，且过点$（\sqrt{15}，4）$的双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，a=5，b=4，即可求出焦点在x轴上的椭圆方程；
（2）求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义求出2a，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，a=5，b=4，焦点在x轴上的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）椭圆$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{36}=1$的焦点坐标为（0，±3），
∵双曲线过点$（\sqrt{15}，4）$，
∴2a=$\sqrt{15+49}$-$\sqrt{15+1}$=4，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．