Question

7．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AO}$|≥|$\overrightarrow{BO}$|对任意t∈R恒成立，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据向量的减法的运算法则将向量进行化简，然后两边平方，设$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=m，整理可得4t²-2tm-（4-2m）≥0恒成立，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AO}$|≥|$\overrightarrow{BO}$|，
∴|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AO}$|≥|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{AB}$|，
两边平方可得：
$\overrightarrow{AB}$²-2t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$+t²$\overrightarrow{AO}$²≥$\overrightarrow{AO}$²-2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$²，
设$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=m，则有：4t²-2tm-（4-2m）≥0恒成立，
则有判别式△=4m²+16（4-2m）≤0，
即m²-8m+16≤0，
化简可得（m-4）²≤0，即m=4，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=4，
故选：B

点评 本题考查平面向量的运用，考查平方法的运用，考查向量的平方即为模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意运用判别式小于等于0，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．