Question

14．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx-$\frac{2}{3}$在x=2处的切线方程为x+y-2=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数得到f′（x）=x²+2ax+b，这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系以及切点在函数图象上便可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可；
（Ⅱ）上面已求出a，b，从而可以得出导函数f′（x），这样判断导数的符号，从而便可得出函数f（x）的极值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+b；
由题意可得，切点为（2，0），切线斜率为k=-1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=\frac{8}{3}+4a+2b-\frac{2}{3}=0}\\{f′（2）=4+4a+b=-1}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由上面得，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）；
∴x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；
∴x=1时，f（x）取极大值$\frac{2}{3}$，x=3时，f（x）取极小值$-\frac{2}{3}$．

点评 考查函数在函数图象上一点的导数值和过该点切线斜率的关系，根据直线的方程能求直线的斜率，以及根据导数符号求函数极值的方法和过程．