已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.直线l1:y=$\frac{b}{a}$x-b被椭圆截得的弦长为2$\sqrt{2}$.且椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.过椭圆C的右焦点且斜率为$\sqrt{3}$的直线l2被椭圆C截的弦为AB．(1)求椭圆的方程,(2)弦AB的长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），直线l₁：y=$\frac{b}{a}$x-b被椭圆截得的弦长为2$\sqrt{2}$，且椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过椭圆C的右焦点且斜率为$\sqrt{3}$的直线l₂被椭圆C截的弦为AB．
（1）求椭圆的方程；
（2）弦AB的长度．

分析（1）由直线l₁过椭圆的两个顶点可得a²+b²=8，结合离心率公式及a²-b²=c²得出a，b；
（2）写出直线l₂的方程，与椭圆方程联立得出A，B坐标的关系，代入弦长公式求出|AB|．

解答解：（1）∵直线l₁经过椭圆C的顶点（0，-b），（a，0），
∴a²+b²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
∴a²=6，b²=2．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）椭圆的右焦点为F（2，0），
∴直线l₂的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-2）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元得：5x²-18x+15=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{18}{5}$，x₁x₂=3．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{\frac{324}{25}-12}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．