Question

17．y=f（x）为R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（4-x），当x∈[0，4]时，f（x）=x且sinα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，则f[2016+sin（α-2π）•sin（π+α）-2cos²（-α）]=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 根据y=f（x）为R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（4-x），得出函数为周期函数，周期是8，然后再利用函数的性质解答

解答 解：∵y=f（x）为R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
又f（x+4）=f（4-x），
∴f（x+8）=f[（4-（4+x）]=f（-x）=f（x），
∴y=f（x）的周期是8，
又f[2016+sin（α-2π）•sin（π+α）-cos²（-α）]=f[2016+sin²α-cos²α]=f（2015+2sin²α）=f（2016-$\frac{5}{9}$）=f（-$\frac{5}{9}$）=f（$\frac{5}{9}$）=$\frac{5}{9}$，
故答案为：$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查函数的周期性，结合函数的其他性质即可解得．