Question

15．对于下列命题：
①若关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；
②已知函数f（x）=log₂$\frac{a-x}{1+x}$为奇函数，则实数a的值为1；
③设a=sin$\frac{2014π}{3}，b=cos\frac{2014π}{3}，c=tan\frac{2014π}{3}$，则a＜b＜c；
④已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），满足$（{\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}}）•（{\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC}}）=0，则△ABC$必定是等腰三角形．
其中正确命题的序号是②③④（请将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 求出满足条件的a的范围，可判断①；求出满足条件的a的值，可判断②；分别求出a，b，c的值，可判断③；根据已知判断三角形的形状，可判断④

解答 解：①若关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，
则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$
则a∈[0，1），故①错误；
若函数f（x）=log₂$\frac{a-x}{1+x}$为奇函数，则f（-x）+f（x）=0恒成立，
即log₂$\frac{a+x}{1-x}$+log₂$\frac{a-x}{1+x}$=log₂$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1{-x}^{2}}$=0恒成立，
故a²=1，
经检验，当a=-1时，不满足条件，
当a=1时，满足条件，故②正确；
设a=sin$\frac{2014π}{3}=sin\frac{4π}{3}=-sin\frac{π}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$b=cos\frac{2014π}{3}=cos\frac{4π}{3}=-cos\frac{π}{3}=-\frac{1}{2}$，
$c=tan\frac{2014π}{3}=tan\frac{4π}{3}=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，
则a＜b＜c，故③正确；
∵$（\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}）•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC}）=0$，
∴$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=0$，
∴$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=0$，
∴${\overrightarrow{CB}}^{2}={\overrightarrow{CA}}^{2}$，
∴${\left|\overrightarrow{CB}\right|}^{\;}=|{\overrightarrow{CA}|}^{\;}$，故△ABC必定是等腰三角形．
故④正确；
故答案为：②③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了恒成立问题，函数的奇偶性，诱导公式，向量的数量积运算等知识点，难度中档．