Question

（2012•江西）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4

2

，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．
（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积．

Answer 1

分析：（1）判断四边形CDEF为矩形，然后证明EG⊥GF，推出CF⊥EG，然后证明平面DEG⊥平面CFG．
（2）在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，求出GH，说明GH⊥平面CDEF，利用VCDEFG=

1

3

SCDEF•GH求出体积．

解答：解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，
由CD=5，DE=4，得GE=

GD2-DE2

=3，
由GC=4

2

，CF=4，得FG=

GC2-CF2

=4，所以EF=5，
在△EFG中，有EF²=GE²+FG²，所以EG⊥GF，
又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，
所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．
（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH=

EG•GF

EF

=

12

5

，
因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，
VCDEFG=

1

3

SCDEF•GH=

1

3

×4×5×

12

5

=16．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力．