Question

中心在原点且焦点在y轴上的椭圆G的离心率为

2

2

，且经过长轴端点与短轴端点的一条直线与原点的距离为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆G的方程．
（Ⅱ）求椭圆G上的动点M到直线L：2x+

6

y+2

6

=0的距离的最小值．
（Ⅲ）过椭圆G一个焦点的直线交G于P，Q两点，求△POQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意可设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．利用点到直线的距离公式可得由点（0，0）到ax+by-ab=0距离，与已知

c

a

=

2

2

，及a²=b²+c²联立即可得出；
（II）设椭圆：x2+

y2

2

=1上的动点M(cosθ，

2

sinθ)，利用点到直线的距离公式和三角函数的单调性即可得出；
（III）由椭圆G方程：x2+

y2

2

=1可得焦点（0，±1），不妨设直线PQ的方程为：y=kx+1，联立即可得到根与系数的关系，再利用点到直线的距离公式和弦长公式、三角形的面积公式、基本不等式即可得出．

解答：解：（I）由题意可设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
由点（0，0）到ax+by-ab=0为

6

3

得

ab

a2+b2

=

6

3

，又已知

c

a

=

2

2

，
联立

c a = 2 2 ab a2+b2 = 6 3 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b=c=1

，
所求椭圆G方程为：x2+

y2

2

=1．
（II）设椭圆：x2+

y2

2

=1上的动点M(cosθ，

2

sinθ)到直线L：2x+

6

y+2

6

=0的距离为d，
则d=

|2cosθ+2 3 sinθ+2 6 |

22+( 6 )2

=

|4sin(θ+ π 6 )+2 6 |

10

，
∴dmin=

2 6 -4

10

=

2( 15 - 10 )

5

．
（III）由椭圆G方程：x2+

y2

2

=1可得焦点（0，±1），
不妨设直线PQ的方程为：y=kx+1，
代入椭圆的方程可得（2+k²）x²+2kx-1=0．
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．则x1+x2=-

2k

2+k2

，x1x2=-

1

2+k2

．
原点O到直线PQ的距离d=

1

1+k2

．
∴S_△POQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

•

1

1+k2

•

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

1

2

(- 2k 2+k2 )2-4×(- 1 2+k2 )

=

1

2

8 k2+1+ 1 k2+1 +2

≤

2

2

．
由△=4k²+4（2+k²）＞0，由k∈R．当且仅当k=0时，S_△POQ由最大值

2

2

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系转化为方程联立得到根与系数的关系、点到直线的距离公式和弦长公式、三角形的面积公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．