Question

16．已知数列{a_n}满足a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}+2，n为奇数\\ 3{a_n}，n为偶数\end{array}$，且a₁=1，a₂=2．
（1）求a₃-a₆+a₉-a₁₂+a₁₅的值；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，当S_n＞2017时，求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}+2，n为奇数\\ 3{a_n}，n为偶数\end{array}$，且a₁=1，a₂=2．可得a_2n-1=2n-1，a_2n=2×3^n-1，即可得出：a₃-a₆+a₉-a₁₂+a₁₅=3a₉-a₆-a₁₂．
（2）由（1）可知：a_n＞0，数列{a_n}单调递增．可得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=n²+3ⁿ-1，
分别求出S₁₂，S₁₃，S₁₄．即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}+2，n为奇数\\ 3{a_n}，n为偶数\end{array}$，且a₁=1，a₂=2．
∴a_2n-1=1+2（n-1）=2n-1，a_2n=2×3^n-1，
∴a₃-a₆+a₉-a₁₂+a₁₅=3a₉-a₆-a₁₂=3×（2×9-1）-2×3²-2×3⁵=-477．
（2）由（1）可知：a_n＞0，数列{a_n}单调递增．
S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=n²+3ⁿ-1，
S₁₂=6²+3⁶-1=764，S₁₃=S₁₂+a₁₃=777，S₁₄=7²+3⁷-1=2235．
∴当S_n＞2017时，n的最小值为14．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．