Question

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计且池无盖）．若受场地限制，长与宽都不能超过25米，则污水池的最低造价为多少？

Answer 1

解：设污水池的宽为x米，则长为米，总造价为y，则 …（2分）

=900x++32000…（6分）
依题意，，得16≤x≤25，…（9分）
∵
∴函数在区间[16，25]上为增函数．…（12分）
∴ …（13分）
所以，当污水池的长为25米，宽为16米时，总造价最低，最低造价为56400元．…（14分）
分析：设污水池的宽为x米，则长为米，求出池外的造价；求出中间两条隔墙的造价；求出池底的造价；将三个造价加起来即为总造价；据长、宽都都不能超过25米，求出定义域，再求出导函数，判断导函数在定义域上的符号，判断出函数的单调性，利用单调性求出函数的最值．
点评：本题考查将实际问题中的最值问题转化为数学中的函数最值、利用导函数的符号判断函数的单调性、利用函数的单调性求出函数的最值