题目内容
给出下列命题：
①函数y=
在区间[1，3]上是增函数；
②函数f（x）=2x-x2的零点有3个；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=
sinxdx；
④若
•
＜0，则＜
，
＞的夹角为钝角．
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）．
①函数y=
| x |
| x2+4 |
②函数f（x）=2x-x2的零点有3个；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=
| ∫ | x -x |
④若
| a |
| b |
| a |
| b |
其中真命题是
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①函数f（x）=
，x∈[1，3]，f′（x）=
，利用导数研究其单调性即可判断出正误；
②由f（-1）f（0）=(
-1)•(1-0)＜0，可得在区间（-1，0）内存在一个零点，另外f（2）=f（4）=0，即可判断出正误；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=2
sinxdx≠
sinxdx，即可判断出正误；
④若
•
＜0，则＜
，
＞的夹角为钝角或平角，即可判断出正误．
| x |
| x2+4 |
| 4-x2 |
| (x2+4)2 |
②由f（-1）f（0）=(
| 1 |
| 2 |
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=2
| ∫ | π 0 |
| ∫ | x -x |
④若
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：①函数f（x）=
，x∈[1，3]，f′（x）=
，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，因此函数在此区间上是增函数；当2＜x≤3时，f′（x）＜0，因此函数在此区间上是减函数，因此是假命题；
②∵f（-1）f（0）=(
-1)•(1-0)＜0，∴在区间（-1，0）内存在一个零点，另外f（2）=f（4）=0，因此函数f（x）=2x-x2的零点有3个，是真命题；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=2
sinxdx≠
sinxdx，是假命题；
④若
•
＜0，则＜
，
＞的夹角为钝角或平角，因此是假命题．
其中真命题是②．
故答案为：②．
| x |
| x2+4 |
| 4-x2 |
| (x2+4)2 |
②∵f（-1）f（0）=(
| 1 |
| 2 |
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=2
| ∫ | π 0 |
| ∫ | x -x |
④若
| a |
| b |
| a |
| b |
其中真命题是②．
故答案为：②．
点评：本题考查了利用当时研究函数的单调性、微积分基本定理、函数零点存在定理、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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