Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|\;，x＞0\\{x^2}+2x-1，x≤0.\end{array}$若f（x）的图象与直线y=ax-1有且只有三个公共点，则实数a的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，求出函数在（0，-1）处的切线斜率，利用数形结合建立不等式关系即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
y=ax-1过定点（0，-1），
要使f（x）的图象与直线y=ax-1有且只有三个公共点，
则a＞0，
当x≤0时，f（x）=x²+2x-1，
函数的导数f′（x）=2x+2，函数在点（0，-1）处的切线斜率
k=f′（0）=2，
此时直线和f（x）=x²+2x-1只有一个交点，
由图象知要使f（x）的图象与直线y=ax-1有且只有三个公共点，
则满足0＜a＜2，
故答案为：（0，2）

点评 本题主要考查分段函数的应用以及函数与方程的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．