Question

2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

由于这些数能够表示成三角形将其称为三角形数，记第n个三角形数为a_n（如a₄=10），令S=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$，则S=（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{4032}{2017}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{4030}{2016}$

Answer 1

分析 根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+…+n个，进而利用裂项法求和得到答案．

解答 解：由已知中：
第1个图中黑点有1个，
第2个图中黑点有3=1+2个，
第3个图中黑点有6=1+2+3个，
第4个图中黑点有10=1+2+3+4个，
…
故第n个图中黑点有a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$个，
∴S=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$
故选：B．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．