Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（0，1），且长轴长是焦距的$\sqrt{2}$倍．过椭圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得b=1，2a=2$\sqrt{2}$c，结合a，b，c的关系，可得a，c，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）原点在线段AB为直径的圆外．求出AB的方程，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，可得圆心和半径，求得O与圆心的距离，即可判断；
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程x²+2y²=2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理，再求y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1），由点O在以线段AB为直径的圆内，可得∠AOB为钝角，即为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即有x₁x₂+y₁y₂＜0，代入解不等式即可得到所求k的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得b=1，2a=2$\sqrt{2}$c，
即有a=$\sqrt{2}$c，a²-c²=b²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）原点在线段AB为直径的圆外．
理由：由左焦点F（-1，0），可得直线AB的方程为x=-1，
代入椭圆方程x²+2y²=2，可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
可得圆心为（-1，0），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由原点到圆心的距离为1，且1＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则原点在线段AB为直径的圆外；
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=k²（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+1）=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由点O在以线段AB为直径的圆内，可得∠AOB为钝角，
即为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即有x₁x₂+y₁y₂＜0，
即$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$＜0，
解得-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$．
则直线AB的斜率k的取值范围是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查点与圆的位置关系，注意运用点与圆心的距离和半径的关系，以及点与直径的端点的张角与向量的数量积的符号的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．