Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$（n∈N^*），可得2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2n+3．利用“累加求和方法”即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$．数列{a_n}的前n项和S_n=（$\frac{{1}^{2}}{2}+\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$）+（$0+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$）．设A_n=$0+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，B_n=$\frac{{1}^{2}}{2}+\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”可得A_n，两次利用“错位相减法”可得B_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$（n∈N^*），
∴2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2n+3．
∴2ⁿa_n=$（{2}^{n}{a}_{n}-{2}^{n-1}{a}_{n-1}）$+$（{2}^{n-1}{a}_{n-1}-{2}^{n-2}{a}_{n-2}）$+…+（2²a₂-2a₁）+2a₁
=2（n-1）+3+2（n-2）+3+…+2×1+3+1
=$\frac{2×（n-1+1）（n-1）}{2}$+3（n-1）+1=n²+2n-2．
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+2n-2}{{2}^{n}}$．
（2）由（1）可得：a_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$．
数列{a_n}的前n项和S_n=（$\frac{{1}^{2}}{2}+\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$）+（$0+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$）．
设A_n=$0+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，B_n=$\frac{{1}^{2}}{2}+\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$．
①先求A_n，∵A_n=$0+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{A}_{n}$=0+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$A_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$，可得A_n=2-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$．
②∵B_n=$\frac{{1}^{2}}{2}+\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{B}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{（n-1）^{2}}{{2}^{n}}$+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}$B_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n+1}}$，
令C_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}{C}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{C}_{n}$=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$2×\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴C_n=3-$\frac{3+2n}{{2}^{n}}$．
∴$\frac{1}{2}$B_n=3-$\frac{3+2n}{{2}^{n}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n+1}}$，∴B_n=6-$\frac{6+4n+{n}^{2}}{{2}^{n}}$．
∴S_n=6-$\frac{6+4n+{n}^{2}}{{2}^{n}}$+2-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$=8-$\frac{8+6n+{n}^{2}}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．