Question

9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若AD=2，求三棱锥F-BEC的体积．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直得出CD⊥平面PAD，故CD⊥PA，由PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD可得PA⊥PD，从而PA⊥平面PCD，于是平面PAB⊥平面PCD；
（2）取AD中点M，连结PM，利用等腰直角三角形的性质得出P到底面的距离PM，则E到平面ABCD的距离为$\frac{1}{2}PM$，把△BCF当做棱锥的底面，代入棱锥的体积公式计算出体积．

解答 （I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，又∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA，
∵$PA=PD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AD$，∴△PAD是等腰直角三角形
且$∠APD=\frac{π}{2}$，即PA⊥PD，
又∵CD?平面PCD，PD?平面PCD，CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD，
又∵PA?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PCD．
（II）解：取AD中点M，连结PM，则PM⊥平面ABCD，
∵AD=2，
∴PM=$\frac{1}{2}AD=1$，
∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PM=\frac{1}{2}$．
∵S_△BCF=$\frac{1}{4}{S}_{正方形ABCD}$=1．
∴V_F-BEC=V_E-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BCF}•h$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．