Question

如图,S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD ,AB=1，SB=.

(1)求证：BCSC;

(2) 设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小

(3) 求面ASD与面BSC所成二面角的大小;

 

Answer 1

【答案】

(1) 先证BC⊥平面SDC    (2) 异面直线DM与SB所成的角为90°(3) 面ASD与面BSC所成

的二面角为45°

【解析】

试题分析：(1)∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D,

∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC.

（2）取AB中点P，连结MP，DP.

在△ABS中,由中位线定理得MP//SB,或其补角为所求.

,又

∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²， 

即异面直线DM与SB所成的角为90°.

(3).∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，

∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S—ABCD，

如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面

BCSA₁所成的二面角，

∵SC⊥BC，BC//A₁S， ∴SC⊥A₁S，

又SD⊥A₁S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.

在R t△SCB中，由勾股定理得SC=，在R t△SDC中,

由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.

考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解题

时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．