Question

13．已知$a=\frac{1}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$，则二项式${（2x-\frac{a}{x^2}）^9}$的展开式中的常数项为-672．

Answer 1

分析 $a=\frac{1}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$=$\frac{1}{π}$$（{∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx+{∫}_{-1}^{1}sinxdx）$=$\frac{1}{2}$，则二项式${（2x-\frac{a}{x^2}）^9}$即$（2x-\frac{1}{2{x}^{2}}）^{9}$，利用通项公式即可得出．

解答 解：$a=\frac{1}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$=$\frac{1}{π}$$（{∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx+{∫}_{-1}^{1}sinxdx）$=$\frac{1}{π}$×$\frac{1}{2}×π×{1}^{2}$+$\frac{1}{π}×（-cosx）{|}_{-1}^{1}$=$\frac{1}{2}$，
则二项式${（2x-\frac{a}{x^2}）^9}$即$（2x-\frac{1}{2{x}^{2}}）^{9}$，通项公式T_r+1=${∁}_{9}^{r}（2x）^{9-r}（-\frac{1}{2{x}^{2}}）^{r}$=（-1）^r2^9-2r${∁}_{9}^{r}$x^9-3r，
令9-3r=0，解得r=3．
∴展开式中的常数项为：-2³${∁}_{9}^{3}$=-672．
故答案为：-672．

点评 本题考查了二项式定理展开式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．