Question

5．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|，其中a为实常数．
（1）当a=1时，求使f（x）≤4成立的x的集合；
（2）若函数f（x）的最小值为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值，得到|a+1|=3，解出a的值即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=|x+1|+|x-2|，
f（x）≤4，即|x+1|+|x-2|≤4，
x≥2时，x+1+x-2≤4，解得：x≤$\frac{5}{2}$，
-1＜x＜2时，x+1+2-x≤4，成立，
x≤-1时，-x-1+2-x≤4，解得：x≥-$\frac{3}{2}$，
综上，不等式的解集是：{x|-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$}．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x+a|≥|（x-1）-（x+a）|=|a+1|，
当且仅当（x-1）（x+a）≤0时取等号，
∴f（x）_min=|a+1|，
由|a+1|=3，解得：a=2或a=-4．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．