Question

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

 

Answer 1

(1) . (2) 的斜率为定值.

【解析】

试题分析：(1)设椭圆的方程为，

由. ,即可得.

(2) 当时，、的斜率之和为0.

设直线的斜率为, 则的斜率为,的直线方程为, 的直线方程为,分别与椭圆方程联立，应用韦达定理，确定坐标关系，通过计算

,

得到结论.

试题解析：(1)设椭圆的方程为

则. 由,得，

∴椭圆C的方程为. 5分

(2) 当时，、的斜率之和为0,设直线的斜率为,

则的斜率为,的直线方程为,

由 整理得

, 9分

,

同理的直线方程为,

可得

∴ , 12分

,

所以的斜率为定值. 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，直线斜率.