Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-b{x^2}$+2x-a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求方程f（x）=0的解的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）=0，求出b的值，从而求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值，通过讨论a的范围，判断f（1），f（2）的符号，从而求出方程解的个数即可．

解答 解：（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=2²--4b+2=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x-a
∴f′（x）=x²-3x+2，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在（-∞，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（1）=$\frac{5}{6}$-a，f（x）_极小值=f（2）=$\frac{2}{3}$-a，
a＞$\frac{5}{6}$时，f（1）＜0，方程f（x）=0有1个解，
a=$\frac{5}{6}$时，f（1）=0，方程f（x）=0有2个解，
$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{5}{6}$时，f（1）＞0，f（2）＜0，方程f（x）=0有3个解，
a=$\frac{2}{3}$时，f（1）＞0，f（2）=0，方程f（x）=0有2个解，
a＜$\frac{2}{3}$时，f（1）＞0，f（2）＞0，方程f（x）=0有1个解．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．