Question

3．M是△ABC所在平面上一点，满足$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{AB}$，则$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABC}}$为（　　）

• A． 1：2
• B． 1：3
• C． 1：1
• D． 1：4

Answer 1

分析 如图所示，由$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}）$，化为：$3\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{BC}$，因此AM∥BC，3AM=BC，∠CBA=π-∠BAM，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，∵$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{AB}$
∴$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}）$，
化为：$3\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴AM∥BC，3AM=BC，∠CBA=π-∠BAM，
∴sin∠CBA=sin∠BAM，
则$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•AMsin∠BAM}{\frac{1}{2}BA•BCsin∠ABC}$=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．