题目内容
2．在下列四个命题中：①函数$y=tan（x+\frac{π}{4}）$的定义域是$\left\{{\left.x\right|x≠\frac{π}{4}+kπ，k∈z}\right\}$；
②已知$sinα=\frac{1}{2}$，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是$\left\{{\frac{π}{6}}\right\}$；
③函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）$的最小正周期是π；
④函数y=cos2x+sinx的最小值为-1．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上①③④．
分析 ①根据正切函数的定义域，即可求出函数$y=tan（x+\frac{π}{4}）$的定义域；
②求出$sinα=\frac{1}{2}$在α∈[0，2π]的解即可；
③化简函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）$，求出它的最小正周期；
④利用正弦函数的有界性求出函数y=cos2x+sinx的最小值即可．
解答 解：对于①，令x+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x≠$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
∴函数$y=tan（x+\frac{π}{4}）$的定义域是$\left\{{\left.x\right|x≠\frac{π}{4}+kπ，k∈z}\right\}$，①正确；
对于②，$sinα=\frac{1}{2}$，且α∈[0，2π]，
则α的取值集合是{$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$}，∴②错误；
对于③，函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）$
=（sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$）+（sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$）=sin2x，
∴函数y的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π，③正确；
对于④，函数y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，
∴当sinx=-1时，y取得最小值为-1，④正确．
综上，正确的命题序号是①③④．
故答案为：①③④．
点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．
天天向上口算本系列答案| ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
| x | $\frac{π}{2}$ | 2π | $\frac{7π}{2}$ | 5π | $\frac{13π}{2}$ |
| f（x） | 0 | 2 | 0 | -2 | 0 |
（2）写出如何由f（x）=sinx的图象变化得到$f（x）=2sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）$的图象，要求用箭头的形式写出变化的三个步骤．
| A． | 第一象限角 | B． | 第二象限角 | C． | 第三象限角 | D． | 第四象限角 |
| 男 | 女 | |
| 需要 | 40 | 30 |
| 不需要 | 160 | 270 |
（1）完成2×2列联表，并根据表中数据，问是否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关？
| A． | $2\sqrt{3}-5$ | B． | $2\sqrt{3}-2$ | C． | $5\sqrt{3}+1$ | D． | $2\sqrt{3}+1$ |
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | 闭区间上函数极大值一定比极小值大 | |
| B． | 闭区间上函数最大值一定是极大值 | |
| C． | 若|p|＜$\sqrt{6}$，则f（x）=x3+px2+2x+1无极值 | |
| D． | 函数f（x）在区间（a，b）上一定存在最值 |