Question

12．在等差数列{a_n}中，a₃=6，a₈=26，S_n为等比数列{b_n}的前n项和，且b₁=1，4S₁，3S₂，2S₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=|a_n|•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）a₈-a₃=5d=26-6=20，∴公差d=4，∴a_n=a₃+（n-3）d=4n-6…（2分）
又6S₂=4S₁+2S₃．即3（b₁+b₂）=2b₁+b₁+b₂+b₃，∴b₃=2b₂，
∴公比q=2，∴b_n=2^n-1…（4分）
（2）c_n=|4n-6|•2^n-1=|2n-3|•2ⁿ…（5分）
1°当n=1时，2n-3＜0，∴T₁=2…（6分）
2°当n≥2时，2n-3＞0，c_n=（2n-3）•2ⁿ，
T_n=2+1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ，
∴2T_n=4+1•2³+3•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2³+2⁴+2ⁿ）-（2n-3）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{{{2^3}（1-{2^{n-2}}）}}{1-2}-（2n-3）•{2^{n+1}}$=-14+（5-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-5）•2ⁿ⁺¹+14…（10分）
当n=1时，满足上式，∴T_n=（2n-5）•2ⁿ⁺¹+14…（12分）

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．