Question

1．一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出此题的概率分别为$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$、$\frac{1}{c}$，其中a、b、c都是小于10的正整数，现甲、乙、丙同时独立解答此题，若三人中恰有一人解出此题的概率为$\frac{7}{15}$，则甲、乙、丙三人都未解出此题的概率为$\frac{4}{15}$．

Answer 1

分析 由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，求得7abc=15[（b-1）（c-1）+（a-1）（c-1）+（a-1）（b-1）]，不妨设5能整除c，求得c=5，再根据3能整除ab，不妨设3能整除b，分类讨论求得b的值，可得a的值，从而求得 甲、乙、丙三人都未解出此题的概率为（1-$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}{b}$）（1-$\frac{1}{c}$）的值．

解答 解：由题意可得$\frac{1}{a}$（1-$\frac{1}{b}$）（1-$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{b}$（1-$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{c}$（1-$\frac{1}{b}$）（1-$\frac{1}{a}$）=$\frac{7}{15}$，
即 $\frac{（b-1）（c-1）+（a-1）（c-1）+（a-1）（b-1）}{abc}$=$\frac{7}{15}$，即 7abc=15[（b-1）（c-1）+（a-1）（c-1）+（a-1）（b-1）]，
故5能整除abc，不妨设5能整除c，由a、b、c都是小于10的正整数，可得c=5．
∴3[4（b-1）+4（a-1）+（a-1）（b-1）]=7ab，故3能整除ab，不妨设3能整除b，
则b=3，6，9．
若b=3，则a=2；若b=6，则3a+11=8a，a无整数解；若b=9，则3a+20=12a，a无整数解．
综上可得，a=2，b=3，c=5，
∴甲、乙、丙三人都未解出此题的概率为（1-$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}{b}$）（1-$\frac{1}{c}$）=$\frac{（a-1）（b-1）（c-1）}{abc}$=$\frac{4}{15}$，
故答案为：$\frac{4}{15}$．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．