题目内容
10．已知数列{an}的前n为Sn满足Sn=$\frac{n}{2}$an，且a2≠0，则$\frac{{{S_{2015}}}}{{{S_{2016}}}}$等于（ ）| A． | $\frac{2015}{2016}$ | B． | $\frac{1007}{1008}$ | C． | 2015 | D． | 2016 |
分析 Sn=$\frac{n}{2}$an，可得：n=2时，a1+a2=a2，解得a1=0．n≥2时，an=Sn-Sn-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，利用“累乘求积”可得an．即可得出．
解答 解：∵Sn=$\frac{n}{2}$an，∴n=2时，a1+a2=a2，解得a1=0．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{n}{2}$an-$\frac{n-1}{2}$an-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
∴an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$•\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a2=$\frac{n-1}{n-2}$$•\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{3}{2}$•$\frac{2}{1}$•a2=（n-1）a2，
∴$\frac{{{S_{2015}}}}{{{S_{2016}}}}$=$\frac{\frac{2015}{2}{a}_{2015}}{\frac{2016}{2}{a}_{2016}}$=$\frac{2015}{2016}×$$\frac{2014{a}_{2}}{2015{a}_{2}}$=$\frac{1007}{1008}$．
故选：B．
点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | -$\frac{{3+\sqrt{6}}}{6}$ | B． | $\frac{{3+\sqrt{6}}}{6}$ | C． | $\frac{{\sqrt{6}-3}}{6}$ | D． | $\frac{{3-\sqrt{6}}}{6}$ |