Question

如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆Γ的离心率为

3

2

，焦距为2

3

，点A，B分别是椭圆Γ的右顶点和上顶点，点D是线段AB上的一动点，点C是椭圆Γ上不与A，B重合的一动点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程和△CAB的面积的最大值；
（Ⅱ）若满足：

OD

=λ

OC

（λ＜0），求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）依题意设椭圆Γ的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由题意推导出

e= c a = 3 2 2c=2 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆Γ的方程．从而得到线段AB：

x

2

+y=1，（0≤x≤2），设直线l与直线AB平行与椭圆相切于x轴下方的P点，当C点与P点重合时，△CAB的面积取到最大值．由此能求出△CAB的面积的最大值．
（Ⅱ）设D（x₀，y₀），x₀∈[0，2]，C（x₁，y₁），则

x1= x0 λ …(1) y1= y0 λ …(2)

，

x12

4

+y12=1，由此能求出λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）依题意设椭圆Γ的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵椭圆Γ的离心率为

3

2

，焦距为2

3

，
∴

e= c a = 3 2 2c=2 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

，
∴椭圆Γ的方程为

x2

4

+y2=1．
∵点A，B分别是椭圆Γ的右顶点和上顶点，
∴A（2，0），B（0，1），
∴线段AB：

x

2

+y=1，（0≤x≤2）
设直线l与直线AB平行与椭圆相切于x轴下方的P点，
由题意知当C点与P点重合时，
△CAB的面积取到最大值．
设直线AB的方程为y=-

1

2

x+m，
由

y=- 1 2 x+m x2 4 +y2=1

，消去y得x²-2mx+2m²-2=0．…（5分）
令△=（-2m）²-4（2m²-2）=0，
解得m=-

2

，或m=

2

（舍去）．…（6分）
所以直线l方程为x+2y+2

2

=0，
点C到直线AB的距离d等于直线l与直线AB的距离，
即d=

2 10 +2 5

5

，
所以△CAB的面积的最大值：
S=

1

2

•|AB|•d=

1

2

×

5

×

2 10 +2 5

5

=

2

+1．…（7分）
（Ⅱ）设D（x₀，y₀），x₀∈[0，2]，C（x₁，y₁），
∵

OD

=λ

OC

，∴

x0=λx1 y0=λy1

，
则

x1= x0 λ …(1) y1= y0 λ …(2)

…（8分）
∵点C（x₁，y₁）在椭圆Γ：

x2

4

+y2=1上，
∴

x12

4

+y12=1，…（3）
将（1）、（2）代入（3），得

x02

4λ2

+

y02

λ2

=1，即λ2=

x02

4

+y02，…（4）
∵D（x₀，y₀）在线段AB：

x

2

+y=1，（0≤x≤2）上，∴y0=

2-x0

2

，
∴（4）式化为λ2=

x02

4

+

(2-x0)2

4

=

1

2

(x0-1)2+

1

2

，
∵0≤x₀≤2，∴

1

2

≤λ2≤1，又λ＜0，
∴-1≤λ≤-

2

2

，∴λ的取值范围是[-1，-

2

2

]．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查三角形的最大值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．