Question

16．函数f（x）=cosx-2^x-2^-x-b（b∈R）．
①当b=0时，函数f（x）的零点个数0；
②若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围（-∞，-1）．

Answer 1

分析 ①求出函数的值域，即可推出函数的零点的个数．
②利用函数的单调性，求出函数的最值，求解即可．

解答 解：①当b=0时，函数f（x）=cosx-2^x-2^-x．∵2^x+2^-x$≥2\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2．
-2^x-2^-x≤-2，cosx≤1，
∴f（x）=cosx-2^x-2^-x≤-1．
函数f（x）的零点个数为0．
②函数f（x）=cosx-2^x-2^-x-b，函数是偶函数，
可得f′（x）=-sinx-2^xln2-2^-xln2，x＞0时，2^xln2+2^-xln2≥2ln2＞1．
-2^xln2-2^-xln2＜-1
-sinx-2^xln2-2^-xln2＜0，
函数f（x）在x＞0时是减函数，x＜0时是增函数，x=0函数取得最大值：-1．如图：若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围（-∞，-1）
故答案为：0；（-∞，-1）．

点评 本题考查函数的导数的应用，数形结合以及函数的零点的应用，考查计算能力．