Question

17．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值；
（2）若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2m-3|对任意a，b恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用乘1法，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b），展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值；
（2）由恒成立思想可得|2m-3|≤9，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由a+b=1，a＞0，b＞0，
可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{2}{3}$时取等号，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9；
（2）由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9，
不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2m-3|对任意a，b恒成立，
可得|2m-3|≤9，
即为-9≤2m-3≤9，解得-3≤m≤6，
即有m的取值范围是[-3，6]．

点评 本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用最值和绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．