Question

16．函数f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}+\sqrt{3}$sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与l轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求f（x）解析式及其值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析 （I）由题意结合三角函数的性质和三角形的特征求解函数的解析式即可；
（II）结合（I）中求得的函数的解析式和同角三角函数基本关系、两角和差正余弦计算f（x₀+1）的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，$f（x）=3cosx+\sqrt{3}sinωx=2\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）$，
又正三角形ABC的高为 $2\sqrt{3}$，从而BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即 $\frac{2π}{ω}=8，ω=\frac{π}{4}$，
∴函数f（x）的解析式为 $f（x）=2\sqrt{3}sin（\frac{π}{4}x+\frac{π}{3}）$，
函数f（x）的值域为 $[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．
（Ⅱ）由$f（{x}_{0}）=\frac{8\sqrt{3}}{5}$ 结合（I）的结论有：$2\sqrt{3}sin（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
则：$sin（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）=\frac{4}{5}$，
由${x}_{0}∈（-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}）$ 可得：$\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
则：$cos（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）=\sqrt{1-{（\frac{4}{5}）}^{2}}=\frac{3}{5}$，故：
$f（{x}_{0}+1）=2\sqrt{3}sin（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）$
=$2\sqrt{3}sin[（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）+\frac{π}{4}]$
=$2\sqrt{3}[sin（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{4}+cos（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）sin\frac{π}{4}]$
=$2\sqrt{3}×（\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}）$
=$\frac{7\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查三角函数解析式的求解，同角三角函数基本关系，两角和差正余弦公式的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．