Question

13．春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第x天（x∈N⁺）的部分数据如表：

天数x（天）	3	5	7	9	11	13	15
日经济收入Q（万元）	154	180	198	208	210	204	190

（1）根据表中数据，结合函数图象的性质，从下列函数模型中选取一个最恰当的函数模型描述Q与x的变化关系，只需说明理由，不用证明．
①Q=ax+b，②Q=-x²+ax+b，③Q=a^x+b，④Q=b+log_ax．
（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值．

Answer 1

分析 （1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数Q=-x²+ax+b进行描述，将（3，154）、（5，180）代入Q=-x²+ax+b，代入Q，即得函数解析式；
（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值．

解答 解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，
而Q=at+b，Q=a^x+b，Q=b+log_ax三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，
∴选取二次函数进行描述最恰当；
将（3，154）、（5，180）代入Q=-x²+ax+b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{154=-9+3a+b}\\{180=-25+5a+b}\end{array}\right.$，解得a=21，b=100．
∴Q=-x²+21x+100，（1≤x≤20，x∈N^*）；
（2）Q=-x²+21x+100=-（t-$\frac{21}{2}$）²+$\frac{841}{4}$，
∵1≤x≤20，x∈N^*，
∴t=10或11时，Q取得最大值210万元．

点评 本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．