Question

11．已知三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，侧棱PA=PB=PC，点O为三棱锥P-ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$，且λ+μ=1，则球O的表面积为150π．

Answer 1

分析 确定球心在PH上，由PH⊥AB，PH⊥AC，则$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AC}$=0，对条件，两边取点乘向量AB，向量AC，向量AH，以及两边平方，运用向量的数量积的性质，计算即可得到半径R，再由球的表面积公式计算即可得到．

解答 解：由于三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，
O为球心，OA=OB=OC=OP=R，
即有PH⊥AB，PH⊥AC，∴$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AC}$=0，
由$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$，①
则有$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AB}$，
即有32=64λ+μ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，②
同理对①两边取点乘$\overrightarrow{AC}$，可得
18=36μ+λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，③
又μ+λ=1④
由②③④解得，λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即有$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$．
即有$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AH}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AH}$，
即为AH²=$\frac{1}{2}$×32+$\frac{1}{2}$×18=25，
又 $\overrightarrow{AO}$²=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$）²，
即R²=$\frac{1}{4}$×64+$\frac{1}{4}$×36+（$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$）²HP²+2×$\frac{1}{4}$×$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=25+（$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$）²HP²，⑤
又在直角三角形AOH中，
R²=（HP-R）²+AH²，即有（HP-R）²=R²-25⑥
由⑤⑥解得R²=$\frac{75}{2}$，
则有球O的表面积S=4πR²=150π．
故答案为：150π．

点评 本题考查球的表面积的求法，关键是求得球的半径，同时考查向量的数量积的定义和性质，通过两边取点乘和两边平方法，是解题的重点，具有一定的运算量，属于难题．