Question

8．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若-$\frac{1}{2}$tanA=sinBcosC+cosBsinC，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$．
（1）求bc的值；
（2）若b=2c，求a．

Answer 1

分析 （1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得sinA，再由三角形的面积公式，可得bc的值；
（2）求得b，c的值，由余弦定理计算即可得到所求a的值．

解答 解：（1）-$\frac{1}{2}$tanA=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sinA，
即2sinA=-$\frac{sinA}{cosA}$（sinA＞0），
可得cosA=-$\frac{1}{2}$，（0＜A＜π），
sinA=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，
可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=2$\sqrt{3}$，
解得bc=8；
（2）b=2c，且bc=8，
解得b=4，c=2，
则a²=b²+c²-2bccosA=16+4-2×4×2×（-$\frac{1}{2}$）=28，
解得a=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查两角和的正弦公式、同角的基本关系式和正弦定理、余弦定理以及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．