Question

13．不等式ax²-x+a＞0，对任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 法一令f（x）=ax²-x+a，当a=0时，不等式为x＜0不合题意；当a≠0时，解得$a≥\frac{1}{2}$，由此能求出a的取值范围．
法二：ax²-x+a＞0⇒$a＞\frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{{x+\frac{1}{x}}}$，由此能求出a的取值范围．

解答 解：法一：∵不等式ax²-x+a＞0，对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴令f（x）=ax²-x+a，
当a=0时，不等式为x＜0不合题意；
当a≠0时，需$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（1）≥0\\ \frac{1}{2a}≤1\end{array}\right.$，
解得$a≥\frac{1}{2}$；综上$a≥\frac{1}{2}$
解法二：不等式ax²-x+a＞0，对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵ax²-x+a＞0，∴ax²+a＞x，
∴$a＞\frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{{x+\frac{1}{x}}}$≥$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$a≥\frac{1}{2}$．
故答案为：$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．