题目内容
8．已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=λ（$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}$）（λ是实数），且$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$是单位向量，则这样的点M有（ ）| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 无数个 |
分析 设A1，A2，A3的坐标，表示出M的坐标，令|$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$|=1得出关于λ的方程，判断方程的解的个数即可得出M的位置的个数．
解答 解：以A1为原点建立坐标系，设A2（a，b），A3（m，n），则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}$=（a+m，b+n），
∴M（λ（a+m），λ（b+n）），
∴$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（-λ（a+m），-λ（b+n）），$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=（a-λ（a+m），b-λ（b+n）），$\overrightarrow{M{A}_{3}}$=（m-λ（a+m），n-λ（b+n）），
∴$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$=（（1-3λ）（a+m），（1-3λ）（b+n）），
∵$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$是单位向量，
∴（1-3λ）2[（a+m）2+（b+n）2]=1，
∵A1，A2，A3为平面上三个不共线的三点，∴（a+m）2+（b+n）2＞0．
显然λ有两解，故满足条件的M有两个．
故选：C．
点评 本题考查令平面向量的线性运算，坐标运算，属于中档题．
练习册系列答案
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13．下列命题中，正确的是（ ）
| A． | 若a＞b，c＞d，则ac＞bd | B． | 若 ac＜bc，则a＜b | ||
| C． | 若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d | D． | 若ac2＜bc2，则a＜b |
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| A． | $[{0，\frac{π}{6}}]$ | B． | $[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$ | C． | $[{\frac{2π}{3}，π}]$ | D． | $[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}]$ |