Question

已知命题p：“椭圆

x2

k-1

+

y2

3-k

=1的焦点在x轴上”；命题q：“对于任意的x，不等式x²-kx+k＞0恒成立”；若命题p∧q为假命题，￢q为假命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，求解当命题p为真命题时，2＜k＜3，当命题q为真命题时，0＜k＜4，然后，结合命题p∧q为假命题，￢q为假命题，得到命题p为假命题、命题q为真命题，然后，求解其范围即可．

解答： 解：对于命题p，∵椭圆

x2

k-1

+

y2

3-k

=1的焦点在x轴上，
∴

k-1＞0 3-k＞0 k-1＞3-k

，解得：2＜k＜3，…（4分）
故当命题p为真命题时，2＜k＜3，
对于命题q，∵对于任意的x，不等式x²-kx+k＞0恒成立，
∴只需△=（-k）²-4k＜0，解得：0＜k＜4，…（8分）
故当命题q为真命题时，0＜k＜4，
因为命题p∧q为假命题，￢q为假命题，
所以命题p为假命题、命题q为真命题，即“p假q真”…（10分）
则

k≤2或k≥3 0＜k＜4

，解得0＜k≤2或3≤k＜4； …（13分）
故所求的实数k的取值范围为（0，2]∪[3，4）．

点评：本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真值表等知识，属于中档题．