Question

已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，所以．由此能求出双曲线的方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．由l与双曲线有两个交点，故k²-3≠0.．要使△APQ成等腰直角三角形，则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0．由此能导出所求直线方程．
解答：解：（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，
∴．…（2分）
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴…（4分）
∴a²=1，b²=3，
∴所求双曲线的方程为．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由，
得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．…（7分）
∵l与双曲线有两个交点，故k²-3≠0．
∴…（8分）
要使△APQ成等腰直角三角形，
则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0…（10分）
即，
对k∈R，且恒成立  （12分）
由|AP|=|AQ|得

解得即…（14分）
综上所述，所求直线存在，其方程为（15分）
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．