Question

11．已知f（x）是一次函数，且f（x+1）=f（x）+1，又f（0）=1，求：
（1）函数f（x）的表达式；
（2）g（x）=f[（x+1）²]+f（x+1）+1的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法．利用f（0）=1，f（1）=2进行求解即可．
（2）求出g（x）的表达式，根据二次函数的单调性进行判断．

解答 解：（1）设f（x）=kx+b，
∵f（0）=1，∴b=1，
即f（x）=kx+1，
∵f（x+1）=f（x）+1，
∴f（1）=f（0）+1=1+1=2，
即f（1）=k+1=2，得k=1，
即函数f（x）的表达式f（x）=x+1；
（2）∵g（x）=f[（x+1）²]+f（x+1）+1=（x+1）²+1+（x+1）+1+1=x²+3x+5，
∴函数的对称轴x=-$\frac{3}{2}$，
则函数的单调增区间为[-$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．