Question

16．已知函数f（x）=2x+sinx+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），若不等式f（3^x-9^x）+f（m•3^x-3）＜0对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{3}$-1）
• B． （-∞，-2$\sqrt{3}$+1）
• C． （-2$\sqrt{3}$+1，2$\sqrt{3}$-1）
• D． （-2$\sqrt{3}$+1，+∞）

Answer 1

分析 由函数解析式可得函数的奇偶性与单调性，把不等式不等式f（3^x-9^x）+f（m•3^x-3）＜0对任意x∈R均成立转化为m＜$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1恒成立，然后利用基本不等式求得其取值范围．

解答 解：∵f（x）=2x+sinx+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），其定义域为R，
且f（-x）=-2x+sin（-x）+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-（2x+sinx+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）=-f（x），
∴f（x）为实数集上的奇函数，
又f′（x）=2+cosx+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＞0在实数集上恒成立，
∴f（x）为实数集上的增函数．
∵不等式f（3^x-9^x）+f（m•3^x-3）＜0对任意x∈R均成立，
∴不等式f（3^x-9^x）＜-f（m•3^x-3）对任意x∈R均成立，
∴不等式f（3^x-9^x）＜f（-m•3^x+3）对任意x∈R均成立，
∵f（x）为实数集上的增函数，
∴3^x-9^x＜-m•3^x+3，
∴m＜$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1，
∵$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1≥2$\sqrt{3}$-1，
∴m＜2$\sqrt{3}$-1，
故选：A．

点评 本题考查了函数奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现数形结合、转化与化归思想在解题中的应用，是中档题．