Question

4．已知a₁=1，a_n-2a_n-1=2ⁿ，则{a_n}的通项公式为（2n-1）×2^n-1．

Answer 1

分析 a_n-2a_n-1=2ⁿ，变形为：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n-2a_n-1=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，公差为1，首项为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$．
则{a_n}的通项公式为：a_n=（2n-1）×2^n-1．
故答案为：（2n-1）×2^n-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．