Question

14．已知点$M（0，\sqrt{3}）$是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个顶点，椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； 
（Ⅱ）已知点P（x₀，y₀）是定点，直线$l：y=\frac{1}{2}x+m（m∈R）$交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂，求点P的坐标，使得k₁+k₂=0恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M及隐含条件a²=b²+c²列方程组可求a²，b²，则椭圆方程可求；
（2）设出A，B两点的坐标，把直线和椭圆联立后可求A，B两点的横坐标的和与积，把直线PA、PB的斜率k₁、k₂分别用A，B两点的坐标表示，把纵坐标转化为横坐标后，则k₁+k₂仅含A，B两点的横坐标的和与积，化简整理即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
∴c=1，a=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$； 
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线$l：y=\frac{1}{2}x+m（m∈R）$代入椭圆C，
整理得：x²+mx+m²-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=0．
∴y₁x₂+y₂x₁+2x₀y₀-y₀（x₁+x₂）-x₀（y₁+y₂）=0，
代入整理可得m（y₀-$\frac{3}{2}$x₀）+2x₀y₀-3=0
∴y₀-$\frac{3}{2}$x₀=0且2x₀y₀-3=0
∴x₀=1，y₀=$\frac{3}{2}$或x₀=-1，y₀=-$\frac{3}{2}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$）或P（-1，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是中档题．