Question

11．f（x）是集合A到集合B的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n∈N^*，则f（x）为单调递增函数的个数是（　　）

• A． $A_{2n}^n$
• B． n²ⁿ
• C． （2n）ⁿ
• D． ${C}_{2n}^{n}$

Answer 1

分析 所有的从集合A到集合B的函数f（x）总共有（2n）ⁿ 个，每从B的2n元素中选取n个元素的一个组合，就对应了一个增函数f（x），故单调递增函数f（x）的个数为C_2nⁿ，即可得出结论．

解答 解：所有的从集合A到集合B的函数f（x）总共有（2n）ⁿ 个，从1，2，…，2n中任意取出n个数，唯一对应了一个从小到大的排列顺序，这n个从小到大的数就可作为A中元素1，2，…，n的对应函数值，这个函数就是一个增函数．
每从B的2n元素中选取n个元素的一个组合，就对应了一个增函数f（x），
故单调递增函数f（x）的个数为C_2nⁿ，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的概念及其构成要素，单调增函数的定义，求出调递增函数f（x）的个数为C_2nⁿ，是解题的关键．