Question

4．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，对角线AC与BD交于点O，M为OC中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥PM
（Ⅱ）若二面角O-PM-D的正切值为2$\sqrt{6}$，求$\frac{PA}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定，先证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的性质即可证明BD⊥PM．
（Ⅱ）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值为2$\sqrt{6}$，即可求出$\frac{PA}{AD}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
又PM?平面PAC，
∴BD⊥PM．
（Ⅱ）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，
因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，
所以∠OHD为A-PM-D的平面角，
设PA=b，AD=4，
∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=120°，
∴OD=2$\sqrt{3}$，OM=1，AM=3，且$\frac{OH}{OM}$=$\frac{AP}{PM}$，
从而OH=$\frac{OM•AP}{PM}$=$\frac{1•b}{\sqrt{{b}^{2}+\frac{9}{4}}}$=$\frac{2b}{\sqrt{4{b}^{2}+9}}$，
∴tan∠OHD=$\frac{OD}{OH}$=$\frac{\sqrt{3（16{b}^{2}+36）}}{2b}$，
所以16b²=144，解得b=3．（舍负值）
∴PA的长为3．
则$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．