Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），椭圆C的离心率e=．

（1）求椭圆C的方程；

（2）△ABC的三个顶点都在椭圆上，且△ABC的重心是原点O，证明：△ABC的面积是定值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）（证明过程略）

【解析】

试题分析：（1）由可得即，又椭圆过点（1，），则，∴，

，所以椭圆的方程为；（2）设、、，则因重心是

原点可得：，即，，当直线的斜率不

存在时，或，此时；当直线

的斜率存在时，设直线的方程为，由可得：，

，由韦达定理得则

，因此又在椭圆上，所以即，化简得，而，点到直线的距离是，所以，综上所述，的面积是定值．

试题解析：（1）由已知可得：，，

∴，

又由已知得：，∴，

∴椭圆的方程为，

（2）设、、，则因重心是原点可得：

，

∴，

当直线的斜率不存在时，或，此时

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由可得：，

∴

∴

∵在椭圆上，∴

∴，，

∴，

而

点到直线的距离是

∴

综上所述，的面积是定值．

考点：1.椭圆的方程与性质；2.直线与椭圆相交的相关问题；3.三角形的重心与面积计算