Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinx，2sin$\frac{x}{2}$）．函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\sqrt{3}$，
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的单调性，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）即可求f（x）的单调增区间；
（2）x∈[0，$\frac{2π}{3}$]⇒$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤π，利用正弦函数的单调性即可求得（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]的最小值．

解答 解：（1）f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$
=sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：
f（x） 的单调增区间为[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）  …（6分）
（2）∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，∵$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤π，
∴0≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，∴f（x）在[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值为0…（12分）

点评 本题考查平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．