Question

2．若对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，则实数a的取值范围$[{-\frac{1}{8}，+∞}）$．

Answer 1

分析 问题转化为：8ax²+4${{x}_{2}}^{2}$≥x₁-4lnx₁+16-$\frac{3}{{x}_{1}}$，令f（x）=x-4lnx+16-$\frac{3}{x}$，x∈（0，2]，利用导数可得其最大值．令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，问题等价于g（x）_max≥f（x）_max．再利用导数可得g（x）的最大值，即可得出．

解答 解：∵x₁＞0，∴4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0，
化为8ax₂+4${{x}_{2}}^{2}$≥x₁-4lnx₁+16-$\frac{3}{{x}_{1}}$，
令f（x）=x-4lnx+16-$\frac{3}{x}$，x∈（0，2]，
f′（x）=1-$\frac{4}{x}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-3）}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=14．
令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，
∵对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，
∴g（x）_max≥f（x）_max．
g′（x）=8a+8x=8（x+a），
①当a≥-1时，g′（x）≥0，函数g（x）单调递增，∴当x=2时，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得a≥-$\frac{1}{8}$，满足条件．
②当-2＜a＜-1时，g′（x）=8[x-（-a）]，可得当x=-a时，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．
③当a≤-2时，经过验证，也不符合条件，舍去．
综上可得：a的取值范围是[-$\frac{1}{8}$，+∞）．
故答案为：$[{-\frac{1}{8}，+∞}）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．