题目内容

8．四边形ABCD如图所示，已知AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$．
（1）求$\sqrt{3}$cosA-cosC的值；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值．

分析 （1）利用余弦定理，求出BD，即可求$\sqrt{3}$cosA-cosC的值；
（2）求出S12+S22的表达式，-1＜cosC＜$\sqrt{3}$-1，即可求S12+S22的最大值．

解答 解：（1）在△ABD中，DB=$\sqrt{16-8\sqrt{3}cosA}$，
在△BCD中，DB=$\sqrt{8-8cosC}$，
所以$\sqrt{3}$cosA-cosC=1．
（2）依题意S12=12-12cos2A，S22=4-4cos2C，
所以S12+S22=12-12cos2A+4-4cos2C=-8cos2C-8cosC+12=-8（cosC+$\frac{1}{2}$）2+14，
因为2$\sqrt{3}-2＜BD＜4$，所以-8cosC∈（16-8$\sqrt{3}$，16）．
解得-1＜cosC＜$\sqrt{3}$-1，所以S12+S22≤14，当cosC=-$\frac{1}{2}$时取等号，即S12+S22的最大值为14．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．

练习册系列答案
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题号12345
考前预估难度Pi0.90.80.70.60.4
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号12345
实测答对人数161614144
（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
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A．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$B．$\frac{\sqrt{3}}{4}$C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{3}$D．$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
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A．b＞a＞cB．b＞c＞aC．a＞b＞cD．a＞c＞b
13．在（x-4）5的展开式中，含x3的项的系数为（　　）
A．20B．40C．80D．160
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17．设a为实数，函数f（x）=（x2-a）e1-x．
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（Ⅱ）当f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，是否存在实数λ，使x2f（x1）+aλ（e${\;}^{1-{x}_{1}}$+1）≤0？请说明你的理由．
18．实部为1，虚部为2的复数所对应的点位于复平面的（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

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