Question

已知α，β∈（

π

2

，π），sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，sin（α-β）=-

3

5

，则cosβ的值为（　　）

• A、

  4 3 +3

  10

• B、

  4 3 -3

  10

• C、

  3-4 3

  10

• D、-

  4 3 +3

  10

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：把sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

平方可得sinα的值由同角三角函数基本关系可得cosα和cos（α-β）的值，代入cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）计算可得．

解答： 解：∵sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，∴（sin

α

2

+cos

α

2

）²=（

6

2

）²，
∴1+2sin

α

2

cos

α

2

=

3

2

，即1+sinα=

3

2

，解得sinα=

1

2

，
∵α，β∈（

π

2

，π），∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

2

，
∴α-β∈（-

π

2

，

π

2

），又sin（α-β）=-

3

5

，
∴cos（α-β）=

1-sin2(α-β)

=

4

5

∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=-

3

2

×

4

5

+

1

2

×（-

4

5

）=-

4 3 +4

10

故选：D．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和二倍角的正弦公式，属中档题．